Langage et raisonnement

Elément de cours des exercices

Premier exemple : L’unicité de la limite
Si une fonction de dans admet une limite en un point, cette limite est unique.
Démonstration
Soit une fonction de dans et un élément de . Supposons que ait une limite quand tend vers . Montrons que cette limite est unique.
Supposons que admet deux limites distinctes en , notées et . Deux cas se présentent : soit , soit .
Supposons .
Choisissons de manière que les intervalles et soient disjoints. Pour cela il suffit que . Il faut donc choisir tel que ; c’est possible car .
Comme est la limite de au point , il existe un nombre strictement positif tel que implique . De même, il existe strictement positif tel que implique . Soit alors un réel qui vérifie à la fois et . On a alors simultanément et , c’est-à-dire et . Mais cela est impossible puisque les intervalles et sont disjoints.
Dans le cas où , un raisonnement analogue conduirait aussi à une contradiction.
Donc si admet une limite, cette limite est unique.

Des démarches essentielles

Des pas de démonstration
C’est la démarche la plus fréquente : il s’agit, et étant des propriétés d’un objet appartenant à un ensemble et un objet de , connaissant les résultats et ( ), d’en déduire . Par exemple, on sait que et que pour tout , et on en déduit que .

Un raisonnement par l’absurde (cf la méthode)
On veut démontrer . Pour cela on ajoute (non ) aux hypothèses et on démontre que l’on aboutit à une contradiction.
Ainsi, dans cette démonstration, on veut démontrer que n’a qu’une limite. On ajoute alors aux hypothèses que a deux limites distinctes et on s’efforce de montrer qu’il y a une contradiction : deux intervalles sont disjoints et pourtant ils ont un élément commun.

La méthode des cas (cf la méthode)
Si on dispose d’une hypothèse de la forme et qu’on veut montrer , on examine deux cas : dans le premier cas, on admet et on démontre , dans le deuxième cas on admet , et on démontre .
Ainsi, dans notre démonstration, on sait que ( ou ). On examine le cas et on démontre une contradiction. Puis on examine le cas , qui se raméne d’ailleurs au cas précédent en intervertissant les rôles de et de , et on démontre une contradiction.

L’hypothèse auxiliaire (voir la méthode)
Voulant montrer ( ), on ajoute aux hypothèses et on démontre .
Dans la démonstration précédente, on veut montrer que “si admet une limite, elle est unique” ; on ajoute aux hypothèses que “ admet une limite” et on démontre que cette limite est unique.

Généralisation (voir la méthode)
Voulant démontrer une propriété de la forme ( ), on choisit une lettre qui n’a pas encore été utilisée pour désigner un élément de , par exemple , et on démontre .
On veut démontrer, ici, que pour une fonction quelconque de dans et un point quelconque, si cette fonction a une limite en ce point, cette limite est unique. Pour cela on choisit les lettres et pour désigner une fonction et un réel quelconques ; on annonce cette démarche en écrivant “soit une fonction de dans et un réel”. On démontre alors la propriété pour la fonction et le point .

Choisir un nom d’objet (voir la méthode)
Quand on sait qu’il existe un ou plusieurs objets possédant une propriété, on peut donner un nom à l’un de ces objets.
On sait par exemple que, puisque , il existe des réels strictement positif plus petit que ce nombre. On choisit alors d’appeler un réel vérifiant cette propriété.

Démontrer
Pour démontrer , la méthode la plus fréquente consiste à construire un objet de qui vérifie . Par exemple, on veut montrer qu’il existe un point commun aux intervalles et ; pour cela on construit l’élément qui appartient à ces deux intervalles.

Beaucoup de liberté

Dans la pratique, on a beaucoup de liberté dans l’écriture d’une démonstration.

Les sous-entendus
La plupart des démonstrations contiennent beaucoup de sous-entendus, car il est fastidieux de rédiger des démonstrations complètes. Mais on a beaucoup de liberté dans le choix de ces sous-entendus, en tenant compte du contexte et du niveau où l’on se situe. Par exemple dans la démonstration ci-dessus, on écrit : “Soit alors un réel qui vérifie à la fois et  ”. La démarche n’est valable que si un tel existe ; on peut estimer que ce résultat ne fait pas partie des résultats connus et nécessite une démonstration. On pourrait ajouter, par exemple : “Puisque et sont strictement positifs, il existe un strictement inférieur à ces deux nombres ; si , on a et  ”.

L’ordre de l’argumentation
Une démonstration n’est pas obligatoirement rédigée de l’hypothèse vers la conclusion. C’est le cas par exemple du texte suivant : “ Choisissons de manière que les intervalles et soient disjoints. Pour cela il suffit que . I. Il faut donc choisir tel que ; c’est possible car ”. Ce sont les mots il suffit et car qui permettent ici de placer un résultat avant les arguments qui le justifient. Pour remettre les hypothèses avant les conclusions, on aurait pu écrire : “ Comme , il existe des réels compris entre et ; soit un tel nombre. On a ; on en déduit que les intervalles et sont disjoints. ”

Les mots de liaison
Il y a beaucoup de façons d’annoncer les procédés utilisés. Par exemple, dans la démonstration ci-dessus, “Si cette limite n’est pas unique” annonce un raisonnement par l’absurde ; on aurait pu écrire : “Raisonnons par l’absurde et supposons que cette limite ne soit pas unique” ; à la fin de cette partie, “cela est impossible” aurait pu être remplacé par “il y a une contradiction car”.

Le texte proprement démonstratif peut être mêlé à d’autres sortes de textes, comme des commentaires ou des textes heuristiques qui indiquent comment on a trouvé le résultat.
Ainsi la démonstration précédente aurait pu commencer par “On va exploiter l’idée que, lorsque à une limite en , les valeurs de la fonction au voisinage de ce point sont proches de cette limite”.

Autres exemples :

• En arithmétique : la suite des nombres premiers est illimitée.
• En géométrie : un triangle qui a deux bissectrices de longueurs égales est isocèle.