Langage et raisonnement
Méthodes et techniques des exercices
 

Montrer ∀x, P (x )

Règle du ”quel que soit”

On veut montrer une proposition du type ( ∀x ∈ E, P(x) ).
Dans la pratique, on commence en écrivant une expression du style «  Soit x un élément de E   », ou «  Considérons un élément x de E   », puis on écrit une démonstration de P (x) .
Lorsque cette démonstration est un peu longue, on peut l’encadrer par l’annonce «  On va montrer qu’on a P (x)   » et la conclusion partielle «  On a montré P (x)   ». On peut ajouter la conclusion globale «  On a montré ( ∀x ∈ E, P(x ) )  ».

Cette démarche peut être explicitée par la règle suivante :

Pour démontrer ( ∀x ∈ E, P (x) ) :
  1. on choisit une lettre x qui n’a pas déjà été utilisée ailleurs et on ajoute la donnée x ∈ E ;
  2. on démontre que P (x) est vraie.

 
Exemple
Montrer que pour tout x de ℝ , on a (x > 1 =⇒ x2 + x + 1 > 3).
Démonstration
Soit x un nombre réel.
Supposons x > 1 . On a alors 2 x > 1 . On en déduit 2 x + x + 1 > 1 + 1+ 1 , c’est -à-dire 2 x + x + 1 > 3 .
On a bien le résultat.
Commentaires
Ici P (x) est la proposition (x > 1 = ⇒ x2 + x+ 1 > 3) . Le premier alinea correspond au point 1. La proposition P (x) est une implication de la forme (P1 =⇒ Q1 ). Pour la démontrer, on utilise la règle de l’hypothèse auxiliaire (LIEN), en ajoutant P1 aux données (on a écrit «  Supposons que l’on a x > 1   ») et on démontre Q1 . Les deux premières phrases reviennent à ajouter les données « x réel  » et « x > 1   ». On aurait pu les condenser en écrivant « Soit x un réel tel que x > 1   ».