Langage et raisonnement
Méthodes et techniques des exercices
 

Utiliser une hypothèse de la forme ∃x, P (x )

Nommer un objet

Pour démontrer une proposition Q en utilisant une donnée de la forme
( ∃x ∈ E, P (x) ) :
1)on choisit une lettre x 0 par exemple, qui n’a pas été déjà utilisée
et surtout qui n’apparaît pas dans la proposition Q ;
2)on ajoute aux hypothèses la proposition ( x ∈ E 0 et P (x ) 0 ) ;
3)on démontre Q.

En pratique, les points 1 et 2 sont traduits par une expression de la forme

« Soit x0 un élément de E tel que P (x0) » 
ou
« On sait que ( ∃x ∈ E, P (x) ) ; soit x 0 un tel élément ».

Il est souvent bon de justifier le « On sait que » par la référence à une définition ou à un théorème.

Exemple Soit a un réel. Montrer que si ( [0,1] ∩ [a - 1∕2,a + 1∕2] ⁄= ∅ ), alors - 1∕2 ≤ a ≤ 3∕2.
Démonstration
Soit E = [0,1]∩ [a - 1∕2,a + 1∕2] . On suppose que E est non vide. Soit x0 un élément de cet ensemble. On a donc 0 ≤ x0 ≤ 1 et a - 1∕2 ≤ x0 ≤ a + 1 ∕2 , d’où 0 ≤ x0 ≤ a+ 1 ∕2 et a- 1 ∕2 ≤ x0 ≤ 1 . On en déduit 0 ≤ a + 1∕2 et a - 1∕2 ≤ 1 , d’où - 1∕2 ≤ a ≤ 3∕2 . On a bien le résultat demandé.
Commentaires
Dire que E est non vide, c’est dire ( ∃x ∈ E ). On utilise la règle « nommer un objet » en considérant l’un des éléments de E (il peut y en avoir beaucoup) et en l’appelant x 0 . Les inégalités vérifiées par x0 permettent de trouver des inégalités concernant a .