Montrer P ou Q

La méthode la plus évidente de démontrer (P ou Q) est de le déduire de P ou de Q.
Dans le cas où on ne sait pas si P est vraie ou si Q est vraie, on peut utiliser la méthode suivante :
On ajoute aux hypothèses non P en écrivant « supposons que P soit fausse ». Puis on essaie de démontrer Q.
Cette démarche correspond à la démonstration de (non P)

Q qui est bien une proposition équivalente à (P ou Q).

Remarque. Les propositions (P ou Q) et (Q ou P) sont équivalentes. Il peut être plus simple de prendre la négation de Q que celle de P.

Exemple
Soit un entier. Montrer que est impair ou 2
n est pair.
Démonstration
On suppose que n’est pas impair, c’est-à-dire que est pair.
Soit un entier tel que n = 2k . On a n2 = 4k2 , donc n2 = 2k ′ où k′ = 2k2 . Donc est pair.
On a donc bien impair ou 2
n pair.

Commentaires
La proposition à démontrer est de la forme (P ou Q) où P est la proposition « est impair » et Q la proposition « 2
n est pair ». La proposition « P est fausse » est introduite par « On suppose que n’est pas impair ».