Raisonner par récurrence

Dans une démonstration, on peut être amené à démontrer une propriété

qui dépend d’un entier

, c’est-à-dire en fait, à démontrer que ∀n ∈ ℕ,Hn

. L’une des manières de procéder est de faire un raisonnement par récurrence. Il est indispensable de respecter les points suivants :

Expliciter et nommer : on précise clairement la propriété que l’on veut démontrer (ce choix est important car un mauvais choix peut rendre la démonstration difficile, voire impossible).
Bien vérifier l’initialisation : on démontre
Montrer l’hérédité : on considère un entier positif quelconque et on démontre que . Concrètement cette partie commence par des expressions du type “Soit un entier positif ; supposons et démontrons ”, ou encore : ”soit tel que ; démontrons ” .
Ne pas oublier la conclusion : on a alors montré que .

Remarques.

Le raisonnement par récurrence s’étend à des propriétés qui sont vraies à partir d’un certain rang . Dans ce cas on démontre ; puis, pour , on démontre . La conclusion est alors : .
Si ne semble pas suffire pour démontrer , penser à la récurrence forte.