Langage et raisonnement
Méthodes et techniques des exercices
 

Montrer P = ⇒ Q

Méthode de l’hypothèse auxiliaire

Beaucoup d’énoncés sont du type «  Montrer que si l’on a P, alors on a Q  », c’est-à-dire «  démontrer (P = ⇒ Q)  ».
Dans la pratique, on commence souvent en écrivant «  on suppose P  », c’est-à-dire que l’on considère P comme une nouvelle donnée, puis on cherche à démontrer Q. La démonstration s’achève par une phrase du genre «  on a montré Q  » et il peut être bon de prendre la peine de rappeler la conclusion globale «  on a montré (P =⇒ Q)  ». On peut expliciter cette démarche par la règle suivante :

Pour démontrer (P =⇒ Q) :
  1. on ajoute P aux données.
  2. on démontre que Q est vraie.

 
Exemple
Soit n un entier. Montrer que si n est pair, alors n2 est pair.
Démonstration
On suppose que n est pair.
Par définition d’un nombre pair, on peut donc écrire n = 2k où k est un entier. On en déduit n2 = 4k2 , donc n2 = 2k′ où k′ = 2k2 . Donc n2 est pair.
On a montré que si n est pair, alors n2 l’est aussi.

Commentaires
Soient P la proposition «   n est pair  » et Q la proposition «   n2 est pair ». La proposition à démontrer est «  si P, alors Q  », c’est-à-dire (P = ⇒ Q).
La première ligne de la démonstration revient à ajouter P aux données, le deuxième paragraphe démontre Q, le troisième est la conclusion.