Langage et raisonnement

Elément de cours des exercices

Troisième exemple : La suite des nombres premiers est illimitée.
Démonstration
Supposons qu’il y ait un entier plus grand que tout nombre premier et démontrons que l’on aboutit à une contradiction.
Considérons le nombre . On a évidemment .

• si était premier, il existerait un premier plus grand que , ce qui est impossible.
• si n’était pas premier, il posséderait un diviseur premier . serait plus petit que , donc diviserait . Des deux relations : divise et divise , on déduirait : divise . Contradiction.

Des démarches essentielles


Des pas de démonstration
C’est la démarche la plus fréquente : et étant des propriétés d’un élément appartenant à un ensemble et un élément de , et connaissant les résultats et , il s’agit d’en déduire . Par exemple, dans la démonstration ci-dessus, on sait que tout nombre entier plus grand que possède un diviseur premier et que et on en déduit que possède un diviseur premier ; est ici , est et est “ possède un diviseur premier ”.
Un raisonnement par l’absurde (cf la méthode)
On veut démontrer . Pour cela, on ajoute (non ) aux hypothèses et on démontre que l’on aboutit à une contradiction.
Dans notre cas, on veut démontrer que la suite des nombres premiers est illimitée. Il faut d’abord comprendre ce que cela veut dire ; une manière de l’exprimer est : “ pour tout entier , il y a un nombre premier plus grand que ”. Le début de notre démonstration consiste à ajouter aux hypothèses la négation de cette proposition : “ il y a un nombre plus grand que tous les nombres premiers ”. Puis on démontre que l’on aboutit à une contradiction.
La méthode des cas (cf la méthode)
Si on dispose d’une hypothèse de la forme ( ou ) et qu’on veut démontrer , on examine deux cas : dans le premier cas, on admet et on démontre et dans le deuxième cas on admet et on démontre .
Ainsi, dans notre démonstration, on sait que est premier ou n’est pas premier. On examine donc les deux cas. Comme dans chacun des cas on aboutit à une contradiction, cette contradiction est bien une conséquence de l’hypothèse initiale.
Démontrer une contradiction (voir la méthode)
Pour le faire, on cherche une proposition telle qu’on puisse démontrer à la fois et (non ).
Pour la première contradiction de notre démonstration, la proposition choisie est : “ est plus grand que tout nombre premier ” dont la négation est “ il existe un entier premier plus grand que ”.
Dans la deuxième contradiction, le raisonnement n’est pas entièrement exprimé. En fait “ divise 1 ” a pour conséquence “ ” qui est en contradiction avec “ ”.
Choisir un nom d’objet (voir la méthode)
Quand on sait qu’il existe un ou plusieurs objets possédant une propriété, on peut donner un nom à l’un de ces objets.
On a par exemple admis, pour débuter notre démonstration, qu’il y avait un entier plus grand que tout nombre premier ; on choisit de nommer cet entier.
On sait que a un ou plusieurs diviseurs premiers ; on décide d’appeler l’un de ces diviseurs premiers.

Beaucoup de liberté

Dans la pratique, on a beaucoup de liberté dans l’écriture d’une démonstration.


Les sous-entendus
La plupart des démonstrations contiennent des sous-entendus car il est fastidieux de rédiger des démonstration complètes. Par exemple, ici, on a omis d’écrire que “ divise ” implique “ ”. Pour déduire que de , il aurait fallu, pour être complètement explicite, dire que , qu’en conséquence , donc .
La fin de la démonstration est aussi omise. D’abord on ne précise pas que, puisqu’on a obtenu une contradiction dans les deux cas possibles, il y a bien une contradiction. D’autre part, on ne dit pas que la conclusion finale est “ la suite des nombres premiers est illimitée ”.
L’ordre de l’argumentation
Il n’est pas obligatoire de rédiger une démonstration de l’hypothèse vers la conclusion. Ainsi on aurait pu remplacer :
“ serait plus petit que , donc diviserait . Des deux relations : divise et divise , on déduirait : divise . Contradiction. ”
par :
“ Montrons que , ce qui entraînera une contradiction. Pour cela, montrons que divise . En effet divise d’une part et d’autre part, donc il divise leur différence. ”
Ce sont les mots montrons que et en effet qui indique que certains résultats sont écrits avant leur justification.
Les mots de liaison
Il y a beaucoup de façon d’annoncer les démarches utilisées. Ainsi, pour expliquer qu’on entame un raisonnement par l’absurde, on aurait pu commencer notre démonstration par : “ Raisonnons par l’absurde. Pour cela supposons que la suite des nombres premiers ne soit pas illimitée. Il existerait alors un entier plus grand que tous les nombres premiers. Appelons un tel entier. ” Et à la fin des deux paragraphes, les expressions ce qui est impossible et contradiction sont synonymes.

Autres exemples :

• En
• En géométrie : un triangle qui a deux bissectrices de longueurs égales est isocèle.
• En analyse : l’unicité de la limite en un point d’une fonction.