Algèbre linéaire
Elément de cours des exercices
 

Les espaces de matrices

Soit 𝕂 le corps ℝ ou ℂ . Une matrice à p lignes et n colonnes à coefficients dans 𝕂 est une famille A = (ai,j)1≤i≤p,1≤j≤n d’éléments de 𝕂. L’ensemble de ces matrices est noté Mp,n (𝕂 ) . Si n = p , on le note Mn (𝕂 ) .
On définit sur l’ensemble Mp,q (𝕂 ) une loi appelée addition des matrices par : si A = (ai,j)1≤i≤p,1≤j≤n et B = (bi,j)1≤i≤p,1≤j≤n , alors

A + B = (ai,j + bi,j)1≤i≤p,1≤j≤n.

On définit également une loi appelée multiplication par un scalaire par

λA = (λai,j)1≤i≤p,1≤j≤n.

Muni de ces deux lois, cet ensemble est un espace vectoriel sur 𝕂.
La matrice nulle est la matrice dont tous les éléments sont nuls. Par exemple, la matrice nulle de M2,3 (𝕂 ) est la matrice ( ) 0 0 0 ( 0 0 0 ) .

Mp,n (𝕂 ) est de dimension p × n. Une base est constituée par les pn matrices Ei,j avec 1 ≤ i ≤ p et 1 ≤ j ≤ n définies comme ayant tous leurs termes nuls sauf celui situé à la i -ème ligne et j -ème colonne qui vaut 1.
Par exemple, une base de M (𝕂 ) 2,3 est (E ,E ,E ,E ,E ,E ) 1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,3 avec

( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 E = ( 0 0 0 ) , E = ( 0 0 0 ) , E = ( 0 0 0 ) 1,1 1,2 1,3

( 0 0 0 ) ( 0 0 0 ) ( 0 0 0 ) ( ) ( ) ( ) E2,1 = 1 0 0 , E2,2 = 0 1 0 , E2,3 = 0 0 1

L’ensemble Mp,n (ℂ ) est également un espace vectoriel sur ℝ ; dans ce cas, il est de dimension 2np . Une base est donnée par les 2pn matrices Ek,l pour 1 ≤ k ≤ p et 1 ≤ l ≤ n et i × Ek,l pour 1 ≤ k ≤ p et 1 ≤ l ≤ n .
Un certain nombre de sous-ensembles de Mn (ℝ) en sont des sous-espaces vectoriels ;

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