Algèbre linéaire
Elément de cours des exercices
 

ℝn et ℂn : des espaces de n - uplets

On note 𝕂 l’ensemble des réels ou des complexes. Si n ≥ 1 est un entier, on désigne par n 𝕂 le produit cartésien 𝕂◟-×--⋅◝⋅◜⋅ ×-𝕂◞ n facteurs .
𝕂n est donc l’ensemble des n - uplets ordonnés (x1,...,xn ) d’éléments de 𝕂 .

On définit, sur n 𝕂 , deux lois appelées addition et multiplication par un scalaire :

( n n n { 𝕂 × 𝕂 - → 𝕂 + ( (x,y) ↦- → x + y = (x1 + y1,...,xn + yn) ( { 𝕂 × 𝕂n - → 𝕂n × (λ,x) ↦- → λx = (λx ,...,λx ) ( 1 n


On a ainsi construit deux espaces vectoriels n ℝ sur ℝ et n ℂ sur ℂ .
Ces espaces sont de dimension n et ont pour base canonique les n vecteurs (1,0,0,...,0 ) , (0,1,0, ...,0),...,(0, 0,0,...,1). Le vecteur nul est (0,0,0,...,0).
Par exemple, 2 ℝ est un espace vectoriel sur ℝ de dimension 2 dont une base est ((1,0),(0,1)) .

On peut également définir sur ℂn une loi appelée multiplication par un réel :

( { ℝ × ℂn -→ ℂn × (λ,x) ↦-→ λx = (λx1,...,λxn ) (

(ℂn, +, × ) est alors un espace vectoriel sur ℝ ; il est de dimension 2n et la base canonique de ℂn en tant que ℝ -espace vectoriel est formée des 2n vecteurs (1,0,0,...,0) , (0,1,0,...,0),...,(0,0,0,...,1 ), (i,0,0,...,0) , (0,i,0,...,0),...,(0,0,0,...,i).
Par exemple, 2 ℂ est un espace vectoriel ℝ de dimension 4 dont une base est ((1,0),(0,1),(i,0),(0,i)).

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