Algèbre linéaire

Elément de cours des exercices

Soit le corps des réels ou celui des complexes et un espace vectoriel sur Si est un ensemble, on note l’ensemble des applications de dans .
On définit, sur , une loi appelée addition des applications

où est l’application définie par pour tout ,
et une loi appelée multiplication par un scalaire :

où est l’application définie par pour tout dans
Muni de ces deux lois, l’ensemble est un espace vectoriel sur Il est de dimension infinie.
Le vecteur nul de est l’application nulle définie comme étant l’application qui, à tout de , associe le vecteur nul de l’espace vectoriel
Outre les applications réelles qui sont considérées dans le paragraphe suivant, citons quelques exemples à connaître :

• si est un espace vectoriel sur , l’ensemble des applications linéaires de dans , noté . Si , on le note . Si et sont de dimension finie, alors ;
• si est un espace vectoriel sur , l’ensemble des automorphismes de noté et appelé groupe linéaire de . C’est aussi un sous-espace vectoriel de .