Algèbre linéaire

Elément de cours des exercices

Comme on ne travaille que sur les polynômes à une indéterminée à coefficients réels ou complexes, on identifiera un polynôme et la fonction polynôme correspondante.
On note l’ensemble des polynômes à coefficients réels et l’ensemble des polynômes à coefficents complexes. Muni de l’addition des fonctions et de la multiplication d’une fonction par un réel, ces deux ensembles sont des espaces vectoriels sur Ils sont de dimension infinie.
Muni de l’addition des fonctions et de la multiplication d’une fonction par un complexe, l’ensemble est un espace vectoriel sur Il est de dimension infinie.
Le vecteur nul de l’ensemble des polynômes est le polynôme dont tous les coefficients sont nuls, c’est-à-dire, si on l’identifie à sa fonction polynomiale, c’est la fonction, qui à tout , associe le réel zéro.
Un certain nombre de sous-ensembles de et en sont des sous-espaces vectoriels ;

• l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à , noté ; c’est un espace sur de dimension Sa base canonique est
• l’ensemble des polynômes à coefficients complexes de degré inférieur ou égal à , noté ; c’est un espace sur de dimension Sa base canonique est C’est également un espace vectoriel sur ; il est alors de dimension Sa base canonique, en tant que -espace vectoriel, est