Séries numériques
Elément de cours des exercices
 

Majoration des restes de séries

Lorsqu’une série de terme général un est convergente, on note Rn son reste d’ordre n :

+∑∞ Rn = uk. k=n+1

1 Majoration de |Rn| dans le cas des séries alternées

Théorème. Une série alternée, dont la valeur absolue du terme général un décroît et tend vers 0, converge et on a, pour tout n ∈ ℕ :

a) |Rn ≤ |un+1| ;

b) la somme S de la série est encadrée par deux sommes partielles consécutives quelconques Sn et Sn+1 .

Exemple. Pour la série ∑ (- 1)n+1 -------- n avec n ≥ 1 , on a 1 |Rn | ≤ ------ n + 1 et S2n < S < S2n+1 .

2 Cas des séries à termes positifs (ou des séries absolument convergentes)

2.1 Comparaison série-intégrale

Soit f une fonction numérique définie et continue sur [0,+ ∞ [ (ou à partir d’un a > 0 ) positive, décroissante et telle que limx →+ ∞ f (x ) = 0 . La série de terme général f(n) converge si et seulement si ∫ x 0 f(t)d t admet une limite quand x tend vers + ∞ et l’on a alors :

∫ ∫ + ∞ +∞ f(t)d t ≤ Rn ≤ f(t)d t. n+1 n

Cet encadrement résulte de la sommation des inégalités, pour tout k ∈ ℕ :

∫ k+1 f (k + 1) ≤ f (t) dt ≤ f(k ). k

Exemple. Pour la série de terme général 1 --- n2 , n ≥ 1 , avec la fonction 1 --- x2 , on a :

∫ ∫ +∞ d-x +∞ d-x x2 ≤ Rn ≤ x2 , n+1 n

soit

--1---≤ Rn ≤ 1. n + 1 n

2.2 Séries relevant de la règle de Cauchy

Soit un le terme général d’une série à termes positifs telle que la suite (√nn--) ait une limite λ strictement inférieure à 1. La série est convergente et, en prenant un k tel que λ < k < 1 , il existe un entier n0 tel que, pour tout n ≥ n0 , on ait n√ -- n ≤ k , donc un ≤ kn .

Pour tout n ≥ n0 , on peut donc majorer les termes du reste d’ordre n par les termes d’une série géométrique de raison k , c’est-à-dire :

+∑∞ p kn+1 Rn ≤ k = 1 --k. p=n+1

Exemple. Soit 1 un = -n- n . Pour tout p > n , on a 1 up ≤ -------p (n + 1 ) , d’où

+∑ ∞ 1 1 1 Rn ≤ (n-+-1)p = (n-+-1)n+1-× 1 --1∕(n-+-1)- p=n+1

soit

----1----- Rn ≤ n (n + 1 )n .

2.3 Séries relevant de la règle de d’Alembert

Soit un le terme général d’une série à termes strictement positifs telle que la suite ( un+1) un ait une limite λ strictement inférieure à 1. La série est convergente et, en prenant un k tel que λ < k < 1 , il existe un entier n0 tel que, pour tout n ≥ n0 , on ait

u ≤ ku . n+1 n

On en déduit que, pour tout p ≥ 1 , on a

p un+p ≤ k un.

Pour tout n ≥ n0 , on peut donc majorer les termes du reste d’ordre n par les termes d’une série géométrique de raison k et :

+∞ ∑ p Rn ≤ un k p=1

soit

-kun-- Rn ≤ 1 - k .