Primitives de P (x ) sin (x )

Quand une fonction

s’écrit sous la forme f(x) = P (x)sin(x)

, où

est une fonction polynômiale, on calcule une primitive de

sur

par une intégration par parties en dérivant le polynôme.

{ u (x ) = P (x) On pose ′ v (x ) = sin(x)

{ ′ ′ et on obtient u (x ) = P (x ) v (x ) = - cos(x)

Les fonctions et ainsi définies sont bien continûment dérivables sur . On peut donc appliquer la méthode d’intégration par parties et on a :

∫ ∫ ′ P(x )sin (x )dx = - cos(x)P (x) + P (x)cos(x)dx

On se ramène donc au calcul d’une primitive d’une fonction qui est le produit d’un polynôme de degré strictement plus petit que celui de et de la fonction cosinus.
Si ’ est de degré zéro, alors on sait calculer une primitive de x ↦→ P ′(x )cos(x) .
Sinon, on fait une nouvelle intégration par parties en dérivant P ′ . On aboutit alors au calcul d’une primitive de ′′
x ↦→ P (x) sin(x ) , c’est-à-dire qu’on a encore baissé le degré du polynôme.
On recommence alors à faire des intégrations par parties en choisissant à chaque fois de dériver le polynôme jusqu’à obtenir un polynôme constant.

Remarque. Tout ce qui précède s’applique aussi aux fonctions de la forme P (x)cos(x ) , P (x) sinh (x ) et P(x) cosh (x) . Le calcul d’une primitive se fait en utilisant des intégrations par parties où on dérive le polynôme.

Exemple. Pour rechercher une primitive de la fonction 2
x ↦→ f(x) = x sin(x) , on fait une intégration par parties en posant

{ u(x ) = x2 { u′(x ) = 2x ′ et v(x ) = sin (x) v(x ) = - cos(x)

Les fonctions et ainsi définies sont bien continûment dérivables et on a :

∫ ∫ x2sin(x)dx = - x2 cos(x) + 2 xcos(x)dx

Pour calculer une primitive de x ↦→ xcos(x) , on fait à nouveau une intégration par parties en posant :

{ { ′ u(x ) = x et u (x) = x v′(x ) = cos(x) v(x) = sin(x)

Les fonctions et ainsi définies sont bien continûment dérivables et on a :

∫ ∫ xcos(x )dx = x sin(x) - sin(x)dx = x sin(x) + cos(x)

Finalement, on a trouvé qu’une primitive de 2
x ↦→ x sin(x) est

2 x ↦→ - x cos(x) + 2x sin (x) + 2 cos(x).

Remarque.
La méthode décrite ci-dessus montre aussi qu’une primitive de x ↦→ P(x )sin (x ) , où est un polynôme de degré , peut s’écrire sous la forme

F (x ) = anxn cos(x ) + an -1xn-1sin(x) + an-2xn -2cos(x) + ⋅⋅⋅

Dans le cas de cet exercice, on peut donc affirmer qu’une primitive de peut s’écrire :

F (x) = ax2 cos(x) + bxsin(x) + ccos(x)

On utilise ensuite l’égalité ′
F = f pour identifier les coefficients , et .