Les suites

Méthodes et techniques des exercices

Pour une suite définie par , où est une fonction continue, les points fixes de f sont des candidats limites. Soit tel que , un de ces candidats et supposons que, dans un voisinage de , soit décroissante.

Si on suppose que les termes de la suite sont dans ce voisinage, ils prennent successivement des valeurs supérieures et inférieures à . Sur le graphique représentant la fonction et la droite les traits qui permettent de construire les éléments successifs de la suite s’enroulent en forme d’escargot.

Dans cette situation il est naturel d’examiner séparément la suite des termes de rang pair et la suite des termes de rang impair.
Il suffit de connaitre les positions relatives de et pour démontrer par récurrence, en utilisant la décroissance de , la monotonie des suites des termes de rang pair et impair. Par exemple : Si on sait que la décroissance de f permet de montrer par récurrence la croissance de et la décroissance de . Sur l’exemple du dessin on initialisera la récurrence par .

Pour obtenir la convergence de la suite , il faut d’abord montrer que les suites et convergent vers la même limite. Une manière naturelle d’aboutir à ce résultat est de passer à la limite dans les égalités : et .

Pour montrer la convergence de à partir de celle de et vers la même limite, il est nécessaire de revenir à la définition de la convergence avec .