Algèbre linéaire
Elément de cours des exercices
Familles génératrices.
1. Définition.
1. Définition. Soit
un
-espace vectoriel et
une famille de vecteurs de
.
La famille
est une famille génératrice de
si tout vecteur de
est une combinaison linéaire des vecteurs
, c’est-à-dire si pour tout
vecteur
, il existe
tel que
.
Exemple. Soit
. On a
, donc
et
sont des vecteurs de
et tout vecteur de
est
une combinaison linéaire de ces deux vecteurs. La famille
est une famille génératrice
de
.
Généralisation. Une famille
de vecteurs de
indexée par un ensemble
infini
est une famille génératrice de
si tout vecteur de
est combinaison linéaire d’une
sous-famille finie de
. Par exemple, la famille des monômes
est une famille
génératrice de
![ℝ [X ]](cst26x.png)
.
1. Familles génératrices et bases.
Définition. Une base de
est une famille de
qui est génératrice et libre.
Exemple. La famille
des trois vecteurs de
donnés par
est une famille génératrice de
. C’est même
une base, dite base canonique de
.
3. Familles génératrices et applications linéaires.
Proposition. Soit
une application linéaire et
une famille
génératrice de
.
La famille
est une famille génératrice de l’image
.
Remarques.
est une base de
.
(Attention, la famille
n’est pas forcément pour autant une
base de
.)
qui n’est pas de dimension finie,
comme par exemple
![ℝ [X ]](cst44x.png)
. 4. Familles génératrices en dimension finie.
En dimension finie, le théorème de la base incomplète donne les résultats suivants, qui
permettent souvent de décider si une famille est génératrice, plus facilement qu’à partir de la
définition :
Théorème 1. Soit
un espace vectoriel de dimension finie de dimension finie, dim
.
Si
est une famille génératrice de
, on a
.
Théorème 2. Soit
un espace vectoriel de dimension finie, dim
.
vecteurs qui engendre
est une base de
.
vecteurs de
est une base de
. Corollaire. Soit
un espace vectoriel de dimension finie, dim
et
une famille de vecteurs de
.
Les trois énoncés suivants sont équivalents :
est une famille génératrice de
et
;
est une base de
;
est une famille libre et
.