Équations différentielles
Méthodes et techniques des exercices
 

Exploitation de formulations intégrales dans l’étude d’équa diff

Beaucoup de résultats sur les équations différentielles s’obtiennent non pas en raisonnant sur l’équation elle-même mais sur une forme intégrale qui traduit ou découle de cette équation. Cette idée est mise en oeuvre dans quatre méthodes :
Pour les équations linéaires du premier ordre y′ = a(x)y + b(x)
Pour les équations linéaires du second ordre à coefficients constants ′′ ′ ay + by + cy = f(x)
Pour les équations du premier ordre ′ y = f(x,y)
Pour certaines équations du second ordre y′′ = f(x, y,y′)
________________________________________________________________________________

Equations linéaires du premier ordre

Pour les équations linéaires du premier ordre

y′ = a(x)y + b(x)

avec a et b continues sur un intervalle ouvert I , la méthode de variation de la constante permet, en désignant par A (x) une primitive de a(x) sur I , d’écrire les solutions sur I :

∫ x y(x) = CeA (x) + b(t)e-A(t)dt, C ∈ ℝ x0

Quand ces primitives ne sont pas calculables il est parfois possible d’obtenir des propriétés de y à partir de cette expression (majoration, limites, ... ).
________________________________________________________________________________

Equations linéaires du second ordre à coefficients constants

Pour les équations linéaires du second ordre à coefficients constants

ay′′ + by′ + cy = f (x)

les méthodes de variation des constantes fournissent, comme dans le cas précédent, des expressions de y(x) à l’aide d’intégrales qui permettent parfois d’obtenir des propriétés de y sans calculer ces intégrales.
________________________________________________________________________________

Equations du premier ordre ′ y = f(x, y)

Pour les équations du premier ordre

′ y = f (x,y)

où f est une fonction continue, on remplace la recherche de solutions vérifiant la condition de Cauchy y(x0) = y0 par la recherche de solutions de l’équation intégrale équivalente

∫ x y(x) = y + f(t,y(t))dt 0 x0

Cette formulation est le point de départ de la démonstration du Théorème de Cauchy-Lipschitz.

Elle permet aussi, éventuellement en utilisant le Lemme de Gronwall, d’obtenir des propriétés de la solution y quand on ne sait pas la calculer explicitement.

________________________________________________________________________________

Equations du second ordre ′′ ′ y = f(x,y, y)

Dans certains cas, une équation différentielle

′′ ′ (E ) y = f(x, y,y)

conduit, après calcul algébrique, à une autre équation différentielle dont la forme intégrale peut permettre d’obtenir des propriétés des solutions de E quand on ne sait pas les calculer explicitement.

Exemple. Soit l’équation différentielle

′′ 3 (E ) 2y + 4y = 0

On multiplie par y′ et on intègre sur [x0,x ] où x0 est un réel fixé dans l’intervalle de définition de la solution considérée y ; on obtient

′ 2 4 ′ 2 4 (y ) + y = y (x0) + y(x0) .

De l’identité précédente, on peut conclure que toute solution de (E ) est bornée.

Attention : Ici nous obtenons une formulation intégrale qui n’est pas équivalente à l’équation différentielle de départ.