Alg�bre lin�aire
El�ment de cours des exercices
 

�quations lin�aires

Les �quations lin�aires sont des �quations du type

L(x ) = y, (1)

o� L : E → F est une application lin�aire et y un vecteur de F (appel� second membre de l’�quation). L’�quation L (x ) = 0 , dont les solutions sont les �l�ments du noyau de L , est appel�e �quation homog�ne (ou �quation sans second membre) associ�e � l’�quation (1).

L’ensemble des solutions de l’�quation (1) est l’ensemble des vecteurs x de E v�rifiant cette �quation. Le premier travail consiste � bien identifier E, F, L,y . La r�solution de l’�quation se ram�ne :

  1. soit � justifier que y n’est pas dans l’image de L ; dans ce cas, l’�quation n’a pas de solution ;
  2. soit � trouver une solution particuli�re de l’�quation et � d�terminer, alors, le noyau de L ; dans ce cas, on obtient toutes les solutions de l’�quation comme somme de la solution particuli�re et d’un �l�ment quelconque du noyau (solution de l’�quation sans second membre).
Premier exemple

Trouver toutes les fonctions f de ℝ dans ℝ v�rifiant l’�quation diff�rentielle :
′′′ ′′ ′ 2 f (x) - 3f (x) + f (x) = x
Pour traiter ce probl�me, on consid�re l’espace vectoriel E dont les �l�ments sont fonctions 4 fois d�rivable de ℝ dans ℝ et l’endomorphisme L qui � f associe la fonction g : ℝ → ℝ telle que g(x) = f′′′(x)- 3f ′′(x)+ f ′(x) . D�signons par h la fonction de ℝ dans ℝ d�finie par h (x ) = x2 . L’�quation diff�rentielle s’�crit alors : L(f) = h ; c’est une �quation lin�aire.
La fonction f0 d�finie par 3 2 f0(x) = 2x + 9x + 18x est une solution particuli�re de cette �quation.
Les m�thodes de r�soution des �quations diff�rentielles lin�aires nous permettent de d�terminer le noyan de L ; il est engendr� par les fonctions k1 , k2 et k3 d�finies par k (x) = ex 1 , k (x) = e2x 2 et k (x) = 1 3 (lien avec m�thode de r�solution des �quations diff�rentielles lin�aires). Toutes les solutions de l’�quation initiale sont donc les fonctions de la forme : f0(x) + ah1(x ) + bh2(x ) + ch3(x ) o� a , b et c sont des r�els fix�s.

Deuxi�me exemple

Trouver toutes les fonctions f : ℝ → ℝ qui v�rifient, pour tout x r�el, f(x + 1)- f (x) = 1 .

Pour traiter cet exemple, on consid�re l’espace vectoriel E = F (ℝ,ℝ ) de toutes les fonctions de ℝ dans ℝ et l’endomorphisme L de E qui associe � f ∈ E la fonction L (f) ∈ E d�finie, pour tout x ∈ ℝ , par :

L(f)(x) = f (x + 1 ) - f (x ).

Il est clair que f = Id est solution de l’�quation et que Ker(L ) est l’ensemble des fonctions p�riodiques admettant la p�riode 1. Les solutions de l’�quation consid�r�e sont donc toutes les fonctions de la forme Id + φ o� φ ∈ E admet pour p�riode 1.

Troisi�me exemple

Un syst�me d’�quations lin�aires :

( || a1,1x1 + ... + a1,nxn = b1 |{ a2,1x1 + ... + a2,nxn = b2 .. ||| . ( am,1x1 + ... + am,nxn = bm

peut �tre consid�r� comme une �quation lin�aire. Si A est la matrice (a ) i,j et K le corps auquel les ai,j appartiennent, si L d�signe l’application lin�aire de n K dans m K de matrice A, si y est le vecteur de composantes bi et si x est le vecteur ayant pour composantes les inconnues xi , r�soudre le syst�me lin�aire est bien identique � r�soudre l’�quation lin�aire : L(x) = y

Principe de superposition

Quand y est une somme de plusieurs vecteurs de F , il est souvent pratique d’utiliser le r�sultat suivant.

Dans l’�quation (1), si y = ∑ yi 1≤i≤n , on obtient une solution particuli�re x de L (x) = y en cherchant une solution particuli�re x i de chacune des �quations L (x ) = y i pour i = 1,...,n et en prenant ∑ x = 1≤i≤n xi .

Exemple

Si on veut trouver les f ∈ F (ℝ, ℝ) v�rifiant pour tout x r�el,

f(x + 1) - f(x) = 1 + cos(2πx ) (2),

on peut compl�ter ce qui a �t� fait dans l’exemple pr�c�dent, par la recherche d’une fonction v�rifiant tout x r�el, f(x + 1) - f(x) = cos(2πx ) . Il est clair que la fonction x ↦→ cos(2πx ) ne peut �tre solution, puisqu’elle est dans le noyau de L . Par contre, la fonction x ↦→ xcos(2πx ) est solution (remarquer l’analogie avec la recherche de solutions pour les �quations diff�rentielles lin�aires). Finalement, les solutions de l’�quation (2) sont, d’apr�s le principe de superposition, toutes les fonctions de la forme :

f (x) = x + x cos(2 πx) + φ(x)

o� φ ∈ F (ℝ, ℝ) admet pour p�riode 1.

Remarque

Il peut arriver qu’on puisse prouver que (1) a toujours une solution (respectivement : une solution unique) en montrant que L est surjectif (respectivement : bijectif) sans �tre capable, ou sans avoir besoin, de calculer ces solutions. C’est, en particulier, ce qu’on fait pour un syst�me lin�aire de n �quations � n inconnues en v�rifiant, par exemple, que le d�terminant de ce syst�me est non nul. Voir aussi la mise en œuvre de cette remarque dans l’exercice 12.3.